Belajar Logaritma

Assalamu’alaikum sobat...

Matematika lagi... Matematika lagi... Entah kenapa akhir-akhir ini saya begitu terobsesi dengan matematika, yeah mungkin sudah lama saya nggak mengerjakan soal-soal olimpiade matematika. Dulu pernah sih, jenuh pada matematika dan bahkan sudah malas ngerjakan soal matematika. Tapi memanglah hidup ini seperti roda adakalanya jenuh, adakalanya kembali semangat. Eh.. malah pindah jadi filosofis... Daripada ngelantur langsung saja...

  

Logaritma... Pelajaran kelas X SMA ini cukup menarik untuk dipelajari, Susah??? Nggak kok, saya 
yakin bagi yang sungguh-sungguh dan punya niat pasti akan paham nantinya.

Sekilas tentang logaritma.

Logaritma ini diperkenalkan oleh seorang matematikawan asal inggris yang bernama Jhon Napier. Logartima ini diperkenalkan pada tahun 1615 melalui sebuah brosur yang berjudul “mirifici logarithorum canonis descriptio”. Pengertian Logaritma sendiri adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen atau pemangkatan.

Let’s start...

Sudah tau kan bahwa logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan. Ya memang cuma itu. Ketika belajar logaritma, kita cukup pelajari pemangkatan terlebih dahulu dan semuanya akan menjadi mudah

Sobat tau kan berapa 5³ ??? ya hasilnya 125         (5³=125)

Ini jika dituliskan dalam materi perpangkatan

Jika kita tulis dalam metode logaritma ini akan menjadi

⁵log 125 = 3

Singkatnya dalam perpangkatan b^c=a     dalam logaritma menjadi ^blog a = c

Bilangan pokok dalam perpangkatan (b) berubah menjadi basis (b disebut basis) pada logaritma. Nilai pangkat pada perpangkatan (c) berubah menjadi hasil dari operasi logaritma, dan hasil perpangkatan (a) menjadi bilangan pokok pada logaritma

Contoh yang lain:

10²=100 -----> ¹⁰log 100 = 2           atau bisa ditulis    log 100 = 2,

logaritma basis 10 sering dituliskan (log a = c)

8³=512 -----> ⁸log 512 = 3

4⁴=256 -----> ⁴log 256 = 4

Saya kira sudah cukup jelas.

Silahkan menjadi latihan

Berapakah nilai dari 

³log 81 ? 

 log 1000 ? 

 ⁶log 36 ?

Saya kira sampai disini materi cukup mudah. Selanjutnya merupakan sifat sifat dari operasi logaritma

Sifat-sifat logaritma

Pada dasarnya sifat-sifat operasi logartima berasal dari sifat-sifat operasi perpangkatan. Dengan paham sifat-sifat perpangkatan, kita akan lebih mudah dalam mempelajari sifat-sifat operasi logaritma ini

• ^alog a = 1

Untuk memahaminya saya akan tanya dulu ---> 10^... = 10 ??? berapakah nilai dari pangkatnya ??? Tentu akan dengan mudah kita akan menjawab 10¹ = 10,

Nah maka dari itu diketahuilah ^alog a = 1.

Contoh:

²log 2 = 1

⁴log 4 = 1

•  ^alog aⁿ = n  ----> ²log 2³ = 3

Berapakah nilai dari ²log 8 ??? yap hasilnya adalah 3. Kita tahu bahwa 8 = 2x2x2 = 2³. Sehingga ²log 8 dapat kita ganti menjadi ²log 2³. ²log 8=²log 2³=3, perhatikan nilai 3 pada 2³ merupakan hasil dari operasi logaritma tersebut, sehingga dapat kita simpulkan ^alog aⁿ = n

Contoh:  

³log 3⁷ = 7

log 10¹²=12

Note : Sifat ini berlaku hanya jika basis dan bilangan pokok merupakan bilangan yang sama

• ^alog 1 = 0

Sobat tahu berapakah nilai pangkat berikut ---> 13^...=1, 9^...=1      Ya, tentu kita semua akan menjawab 0, semua bilangan yang memiliki pangkat 0 pasti akan menghasilkan 1 (a⁰=1). Maka dari itu dalam logaritma dapat kita simpulkan ^alog 1 = 0

Contoh: 

³⁴log 1 = 0

log 1 = 0

¹⁴log 1 = 0

Test ... Berapakah hasil dari  ³log 243 + ³⁰log 30 – log 1 =

• ^alog b + ^alog c = ^alog (bxc)

Dalam perpangkatan kita tahu bahwa 2³x2⁹ = 2²⁺⁹ = 2¹¹ Nah, jika dalam logaritma sifat perpangkatan tersebut menjadi ^alog b + ^alog c = ^alog (bxc)

Contoh: 

²log 45 = ²log (4x9) = ²log 4 + ²log 9

• ^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)

Dalam perpangkatan kita tahu bahwa 2⁷:2⁵ = 2^7-5 = 2² Nah, jika dalam logaritma sifat perpangkatan tersebut menjadi ^alog b - ^alog c = ^alog (b/c)

Contoh: 

²log 45 – ²log 3 = ²log (45/3) = ²log 15

• ^alog b = ⁿlog a/ⁿlog b

Dalam sifat ini n bebas diganti dengan bilangan apapun selama n tidak sama dengan 1, 0, -1

• ^alog b = 1/^blog a

• ^alog b . ^blog c = ^alog c

bukti ---> Karena keterbatasan fitur blogger saya tidak jadi menunjukkan bukti dari sifat ini:p

contoh: ²log 3 x ³log 4 = ²log 4

• a^^alog b = b (^ berarti pangkat)

bukti:    Misalkan ^alog b = x maka menurut definisi logaritma a^x = b

Karena ^alog b = x maka

a^^alog b = a^x

karena a^x = b maka

a^^alog b = b (terbukti)

• ^alog b^c = c. ^alog b

Bukti :   ^alog b^c     = ^alog (bxbxbxbx...xb) ---->sebanyak c

                = ^alog b + ^alog b + ... + ^alog b --->sebanyak c (ingat sifat (4))

                = c (^alog b) ---> sifat distributif

• ^{a^m}log b = 1/m log b

Yap, kurang lebih ada 11 sifat dari logaritma. Cukup mudah bukan??? Saatnya kita latihan soal...

Latihan soal

Soal No. 1

Ubah bentuk pangkat pada soal-soal berikut menjadi bentuk logaritma:

a) 2³ = 8

b) 5⁴ = 625

c) 7² = 49

Soal No. 2

Tentukan nilai dari:

a) ²log 8 + ³log 9 + ⁵log 125

b) ²log 1/8 + ³log 1/9 + ⁵log 1/125

Soal No. 3

Tentukan nilai dari

a) ⁴log 8 + ²⁷log 9

b) ⁸log 4 + ²⁷log 1/9

Soal No. 4

Tentukan nilai dari:

a) ^v2log 8  ----> v = akar

b) ^√3log 27

Soal No. 5

Diketahui:

log p = A

log q = B

Tentukan nilai dari log (p³xq²)

Soal No. 6

Diketahui

log 40 = A dan log 2 = B, tentukan nilai dari log 20

Soal No. 7

Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b. Tentukan nilai dari ⁶log 14

Soal No. 8

Diketahui ²log √ (12 x + 4) = 3. Tentukan nilai x

Soal No. 9

Tentukan nilai dari ³log(⁵log 125)

Soal No. 10

Diketahui  ²log 3 = m dan  ²log 5 = n . Tentukan nilai dari 2log 90

Mudahkan sobat...

Trus selanjutnya, kita sudah belajar logaritma, nah manfaatnya apa sih logaritma itu???

Manfaat logaritma

Semua ilmu tentunya memiliki manfaat. Jika gak ada manfaatnya kenapa diperkenalkan nah. Berikut ini beberapa manfaat dari ilmu logaritma

·         Logaritma sering digunakan pada skala gempa bumi (skala richter)

·         Mengukur laju pertumbuhan penduduk

·         Mengukur tingkat kebisingan suara (satuan desibel)

·         Menghitung usia fossil

·         Ilmu astronomi

·         Menyederhanakan perhitungan pada perpangkatan

·         Dan masih banyak lagi

Sekian dulu sobat...

Semoga bermanfaat...

Tweet

Jangan sampai ketinggalan postingan-postingan terbaik dari The Papyrus. Berlangganan melalui email sekarang juga:

Atau sobat juga bisa follow The Papyrus dengan mengklik tombol di bawah ini:

Artikel keren lainnya:

Ditulis oleh Izzun Nafis pada tanggal Friday, April 17, 2015