Beranda » Artikel Menarik » Matematika » Unik » Segitiga Khayyam, Segitiga Yang Cukup "Ajaib"

Segitiga Khayyam, Segitiga Yang Cukup "Ajaib"

Assalamualaikum sobat...

Sobat tau apa itu segitiga Khayyam? Kalau saya sebut segitiga Pascal tentu sobat sudah sangat familiar kan... Yup, penemu pertama kali segitiga tersebut memang bukanlah Blaise Pascal. Namun, dunia barat menggembor-gemborkan hal tersebut sehingga kita sekarang lebih familiar dengan istilah segitiga pascal...

Gambar 1 : Segitiga Pascal
source : https://sites.google.com/a/pleasantonusd.net/johnson/algebra2/pascal-s-triangle-extra-credit

Mari kita lihat sejarahnya dulu...

Oh ya, disini saya menceritakan sejarahnya sekaligus menjelaskan beberapa keunikan dari segitiga ini

India

Diawali dari para cendekiawan di India, bahkan sejak abad 2 sebelum masehi mereka memahami _nC_r(kombinasi r dari n) memiliki nilai yang sama dengan penjumlahan dari _n-1C_rdan_n-1C_r-1.Ini menjadi cikal bakal dari terbentuknya segitiga pascal. Jika kita memerhatikan dengan lebih teliti nilai dari _nC_r(n faktorial dibagi perkalian dari (n-r) faktorial dan r faktorial) nilainya sama dengan nilai yang tertera di segitiga pascal baris ke n dari atas (baris paling atas dianggap baris ke 0) dan kolom ke r dari kiri (kolom paling kiri dianggap kolom ke 0).

Gambar 2 : Segitiga pascal dalam bentuk kombinasi
source : https://medium.com/i-math/top-10-secrets-of-pascals-triangle-6012ba9c5e23

Cikal bakal penemuan tersebut kemudian disusun ulang. Baru pada abad ke 10, cendekiawan India ini mampu merekontruksi bentuk segitiga dari persamaan tersebut. Bentuk yang berhasil dibuat ini membuat masyarakat India menyebutnya dengan "Staircase of Mount Meru" (tangga gunung meru).

Persia (Iran)

Di Persia segitiga ini dikembangkan dengan baik oleh ilmuwan muslim bernama Omar Khayyam. Beliau menjelaskan bahwa segitiga ini juga memiliki keterikatan dengan ekspansi binomial. Ketika kita perhatikan, maka kita akan menemukan bahwa masing-masing koefisien dari ekspansi binomial (x+y)^n akan memiliki nilai yang sama secara berurutan dengan angka di segitiga pascal pada baris ke n+1.

Penyusunan yang dilakukan oleh Omar Khayyam ini membuat segitiga ini disebut dengan segitiga Khayyam.

China

Di China sendiri segitiga pascal baru dikenal pada abad 13 oleh Yang Hui. Maka dari itu di China ini segitiga ini dinamai dengan Yang Hui Triangle.

Eropa

Di eropa sendiri, segitiga ini pertama kali muncul dan tenar di Italia pada abad 16 dengan nama Tartaglia's Triangle. Ini sesuai dengan penggagasnya yang bernama Nicollo Fontana Tartaglia. Baru kemudian pada tahun 1665 Pascal menyusun buku yang berjudul Treatise on Arithmatical Triangle yang menjelaskan hubungan segitiga ini dengan teori probabilitas. Segitiga tersebut menjadi terkenal dengan istilah segitiga pascal karena banyak ilmuwan barat yang menyebut dengan penamaan tersebut pada buku-buku karya mereka.

Unik...

Yup, segitiga ini jika ditelisik lebih lanjut memiliki keunikan tersendiri.

Jika dibuat rata kiri...

Jika kita membuat segitiga pascal ini menjadi rata kiri. Kita akan melihat bahwa kolom paling kiri selalu bernilai 1. Kolom kedua, adalah barisan bilangan bulat, kedua kolom ini tidak terlalu spesial memang.

Gambar 3 : Segitiga pascal rata kiri
source : https://medium.com/i-math/top-10-secrets-of-pascals-triangle-6012ba9c5e23

Ketika kita melihat kolom ketiga, barisan yang terbentuk adalah barisan triangular. Yaitu barisan yang menyatakan jumlah titik yang dibutuhkan untuk membuat segitiga. Nilainya sama dengan nilai dari kolom ketiga segitiga pascal tersebut.

Sesuatu yang lebih spesial muncul pada kolom keempat. Barisan yang terbentuk lagi-lagi memiliki pola. Barisan Tetrahedral namanya. Barisan ini menyatakan banyak titik yang dibuat agar terbentuk bangun piramida segitiga.

Selanjutnya adalah bahwa segitiga ini juga dapat membentuk barisan fibonacci. Yaitu barisan yang nilainya merupakan penjumlahan dari 2 bilangan sebelumnya. Nilai dari barisan fibonacci adalah 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Dalam segitiga pascal barisan tersebut dapat dibentuk seperti diagram dibawah.

Gambar 4 : Barisan Fibonacci
source : https://medium.com/i-math/top-10-secrets-of-pascals-triangle-6012ba9c5e23

Keunikan selanjutnya adalah bahwa nilai dari baris ke n+1 pada segitiga pascal nilainya selalu merupakan bilangan 2 pangkat n. Ini jelas logis ketika kita mengingat keterkaitan segitiga pascal dengan koefisien binomial diatas. Ketika kita mengganti x dan y dengan angka 1 maka nilainya akan menjadi 2 pangkat n.

Gambar 5 : Penjumlahan baris ke n+1 pada segitiga pascal nilainya sama dengan 2^n,
source : https://medium.com/i-math/top-10-secrets-of-pascals-triangle-6012ba9c5e23

Kita juga bisa membuat pola unik dari segitiga pascal. Ketika kita memberikan warna berbeda pada bilangan ganjil dan genap, maka pola yang terbentuk adalah seperti gambar dibawah. Pola pada segitiga tersebut dinamai dengan Sierpinski Triangle.